《庞加莱几何化猜想完整证明》

《庞加莱几何化猜想完整证明》
  • 片  名  《庞加莱几何化猜想完整证明》
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  • 详细介绍中文名: 庞加莱几何化猜想完整证明地区: 美国对白语言: 英语简介:
    任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
    庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想,是克莱数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼最终证明。他也因此在同年被授予菲尔兹奖。
    在1904年发表的一组论文中,庞加莱提出以下猜想:
    代码任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
    上述简单来说就是:每一个没有破洞的封闭三维物体,都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为:如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点;另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。
    该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题,对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识,甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
    20世纪
    这个问题曾经被搁置了很长时间,直到1930年J. H. C. Whitehead首先宣布已经证明然而又收回,才再次引起了人们的兴趣。Whitehead提出了一些有趣的三流形实例,其原型现在称为Whitehead流形。
    1950和1960年代,又有许多著名的数学家包括Bing, Haken, Moise和Papakyriakopoulos声称得到了证明,但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年,美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况,证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名。但是,证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家M.Freedman证明了四维猜想,至此广义庞加莱猜想得到了证明。
    1982年,理查德·汉密尔顿引入了“里奇流”的概念,并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中,他进一步地发展了此方法,后来被佩雷尔曼的证明所使用。
    在2002年11月和2003年7月之间,俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本,并声称证明了几何化猜想。
    在佩雷尔曼之后,先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特;哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚;以及里海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。据报道[1],2006年6月3日,丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平第一个给出了庞加莱猜想的完全证明[2]。
    2006年8月,第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
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